Mis on statistika tavaline jaotus?
Normaaljaotus on kellakujuline sagedusjaotuse kõver, mis aitab kirjeldada kõiki võimalikke väärtusi, mida juhuslik muutuja võib antud vahemikus võtta, kusjuures suurem osa jaotuspinnast on keskel ja vähesed on sabades, äärmustes. Sellel jaotusel on kaks peamist parameetrit: keskmine (µ) ja standardhälve (σ), mis mängivad võtmerolli varade tootluse arvutamisel ja riskijuhtimise strateegias.
Kuidas tõlgendada normaalset jaotust
Ülaltoodud joonis näitab, et statistiline normaaljaotus on kellakujuline kõver. Selle jaotuse võimalike tulemuste vahemik on tervikud reaalarvud vahemikus -∞ kuni + ∞. Kellakõvera sabad ulatuvad piirideta diagrammi mõlemale küljele (+/-).
- Ligikaudu 68% kõigist vaatlustest jääb +/- ühe standardhälbe (σ) piiresse
- Ligikaudu 95% kõigist vaatlustest jäävad +/- kahe standardhälbe (σ) piiresse
- Ligikaudu 99% kõigist vaatlustest jäävad +/- kolme standardhälbe (σ) piiridesse
Selle viltu on null (jaotuse sümmeetria). Kui andmete jaotus on asümmeetriline, siis on jaotus ebaühtlane, kui andmekogumi viltus on suurem kui null või positiivne viltus. Siis on jaotuse parem saba pikem kui vasak ja negatiivse viltuse korral (vähem kui null) on vasak saba paremast paremast.
Selle kurtoos on 3 (mõõdab jaotuse tippu), mis näitab, et jaotus ei ole liiga kõrge ega liiga õhuke. Kui kurtoos on rohkem kui kolm, on jaotumine kõrgem paksemate sabadega ja kui kurtoos on alla kolme, on sellel sabad õhukesed ja tipppunkt on tavalisest jaotusest madalam.
Omadused
- Need esindavad jaotuse perekonda, kus keskmine ja hälve määravad jaotuse kuju.
- Selle jaotuse keskmine, mediaan ja viis on kõik võrdsed.
- Pooled väärtused asuvad keskkohast vasakul ja teine pool paremal.
- Standardkõvera koguväärtus on alati üks.
- Tõenäoliselt on jaotus kesksel kohal ja saba otsas on vähem väärtusi.
Teisendamine (Z)
Järgmise jaotuse juhusliku suuruse (X) tõenäosustiheduse funktsioon (PDF) antakse järgmiselt:
kus -∞ <x <∞; -∞ <µ 0
Kus
- F (x) = Normaalne tõenäosusfunktsioon
- x = juhuslik muutuja
- µ = jaotuse keskmine
- σ = jaotuse standardhälve
- π = 3,14159
- e = 2,71828
Transformatsiooni valem
Kus
- X = juhuslik muutuja
Normaalse jaotuse näited statistikas
Arutleme järgmiste näidete üle.
Näide 1
Oletame, et ettevõttel on 10000 töötajat ja mitu palgastruktuuri vastavalt ametikohale, milles töötaja töötab. Palgad jagunevad üldjuhul elanike keskmisega µ = 60 000 dollarit ja populatsiooni standardhälbega σ = 15 000 dollarit. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud töötaja palk on vähem kui 45 000 dollarit aastas.
Lahendus
Nagu on näidatud ülaltoodud joonisel, peame sellele küsimusele vastamiseks välja selgitama normaalse kõvera all oleva ala 45 kuni vasaku külje sabani. Samuti peame õige vastuse saamiseks kasutama Z-tabeli väärtust.
Esiteks peame teisendusvalemi abil teisendama etteantud keskmise ja standardhälbe standardseks normaaljaotuseks keskmisega (µ) = 0 ja standardhälbega (σ) = 1.
Pärast teisendamist peame vastava väärtuse leidmiseks otsima Z-tabeli, mis annab meile õige vastuse.
Arvestades
- Keskmine (µ) = 60 000 dollarit
- Standardhälve (σ) = 15000 dollarit
- Juhuslik muutuja (x) = 45000 dollarit
Teisendus (z) = (45000 - 60000/15000)
Transformatsioon (z) = -1
Nüüd on Z-tabelis väärtusega -1 samaväärne väärtus 0,1587, mis tähistab kõvera all olevat ala 45-st vasakule. See näitas, et kui valime juhuslikult töötaja, on tõenäosus teenida vähem kui 45 000 dollarit aastas 15,87%.
Näide 2
Nüüd, järgides ülaltoodud stsenaariumi, selgitage välja tõenäosus, et juhuslikult valitud töötaja teenib tavalise jaotuse abil rohkem kui 80 000 dollarit aastas.
Lahendus
Nii et selles küsimuses peame sama valemi abil välja selgitama varjutatud ala 80-st kuni parempoolse sabani.
Arvestades
- Keskmine (µ) = 60 000 dollarit
- Standardhälve (σ) = 15000 dollarit
- Juhuslik muutuja (X) = 80 000 dollarit
Teisendus (z) = (80000 - 60000/15000)
Teisendus (z) = 1,33
Vastavalt Z-tabelile on ekvivalentväärtus 1,33 0,9082 ehk 90,82%, mis näitab, et alla 80 000 dollari aastas teenivate töötajate juhusliku valimise tõenäosus on 90,82%.
Kuid vastavalt küsimusele peame kindlaks määrama juhuslike töötajate tõenäosuse teenida rohkem kui 80 000 dollarit aastas, seega peame lahutama väärtuse 100-st.
- Juhuslik muutuja (X) = 100% - 90,82%
- Juhuslik muutuja (X) = 9,18%
Nii et tõenäosus, et töötajad teenivad aastas üle 80 000 dollari, on 9,18%.
Kasutab
- Aktsiaturu tehniline graafik on sageli kellakõver, mis võimaldab analüütikutel ja investoritel teha statistilisi järeldusi aktsiate oodatava tootluse ja riski kohta.
- Seda kasutatakse reaalses maailmas, näiteks selleks, et määrata kõige tõenäolisem aeg, mille pitsaettevõtted võtavad pitsa ja paljude muude reaalsete rakenduste tarnimiseks.
- Kasutatakse antud populatsiooni kõrguste võrdlemisel, kus enamikul inimestel on keskmine suurus ja väga vähestel inimestel on üle keskmise või alla keskmise pikkuse.
- Neid kasutatakse õpilaste keskmise õppeedukuse määramisel, mis aitab võrrelda õpilaste auastet.
Järeldus
Normaalne jaotamine leiab rakendusi andmeteaduses ja andmeanalüütikas. Kõnealused levitamisel kasutatavad täiustatud tehnoloogiad nagu tehisintellekt ja masinõpe võivad anda parema andmekvaliteedi, mis aitab üksikisikuid ja ettevõtteid otsuste tegemisel tõhusalt.
