Binomiaaljaotuse arvutamise valem
Binomiaaljaotuse valemit kasutatakse x õnnestumise saamise tõenäosuse arvutamiseks binoomkatse n-s sõltumatul katsel ja tõenäosus tuletatakse katsete arvu ja nCx-ga saadetud õnnestumiste kombinatsiooniga, korrutades saadud edukuse tõenäosusega. edukuse arvu, mida esindab px, võimsus, mis korrutatakse veel ebaõnnestumise tõenäosusega, mis on suurendatud edukuse arvu ja katsete arvu (1-p) nx vahelise erinevuse võimsuseni.
B binoomkatse n sõltumatu katse korral x õnnestumise saamise tõenäosuse annab järgmine binoomjaotuse valem:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
kus p on edukuse tõenäosus
Ülaltoodud võrrandis kasutatakse n C x , mis pole midagi muud kui kombinatsioonivalem. Kombinatsioonide arvutamise valem on esitatud n C x = n! / x! (nx)! kus n tähistab üksuste arvu (sõltumatud proovid) ja x tähistab korraga valitud üksuste arvu (õnnestumised).
Juhul kui n = 1 binoomjaotuses, on jaotus tuntud kui Bernoulli jaotus. Binoomjaotuse keskmine on np. Binoomjaotuse dispersioon on np (1-p).
Binomiaaljaotuse arvutamine (samm-sammult)
Binoomse jaotuse arvutamise saab tuletada järgmise nelja lihtsa toimingu abil:
- 1. samm: arvutage katsete ja õnnestumiste arvu kombinatsioon. N C x valem on see, kus n! = n * (n-1) * (n-2)… * 2 * 1. Numbri n jaoks võib n-i faktori kirjutada n-na! = n * (n-1)! Näiteks 5! on 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- 2. samm: arvutage edukuse tõenäosus p x edukuste arvu võimsuseni .
- 3. samm: arvutage ebaõnnestumise tõenäosus edukuse arvu ja katsete arvu vahelise erinevuse suuruseks. Ebaõnnestumise tõenäosus on 1-p. Seega viitab see (1-p) nx saamisele
- 4. samm: saate teada 1., 2. ja 3. etapis saadud tulemuste korrutis.
Näited
Näide 1
Katsete arv (n) on 10. Edu õnnestumise tõenäosus (p) on 0,5. Täpselt kuue õnnestumise tõenäosuse arvutamiseks tehke binoomjaotuse arvutamine.
Lahendus:
Binoomjaotuse arvutamiseks kasutage järgmisi andmeid.
Binoomse jaotuse saab arvutada järgmiselt:
P (x = 6) oli 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 06/10
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Tõenäosus saada täpselt 6 edulood on uskumuse
P (x = 6) = 0,2051
Täpselt 6 õnnestumise tõenäosus on 0,2051
Näide 2
Kindlustusseltsi juht läbib tema all töötavate kindlustusmüüjate poolt müüdud kindlustuspoliiside andmeid. Ta leiab, et 80% liikluskindlustust ostvatest inimestest on mehed. Ta soovib teada saada, et kui juhuslikult valitakse 8 liikluskindlustuse omanikku, siis milline oleks tõenäosus, et neist täpselt 5 on mehed.
Lahendus: kõigepealt peame välja selgitama, mis on n, p ja x.
Binoomse jaotuse saab arvutada järgmiselt:
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Tõenäosus täpselt 5 edulood on uskumuse
P (x = 5) = 0,146000064
Täpselt 5 liikluskindlustuse omaniku tõenäosus olla mees on 0,144680064.
Näide # 3
Haigla juhtkond on põnevil uue vähihaigete ravimi kasutuselevõtu üle, kuna võimalus, et inimene saab seda edukalt ravida, on väga suur. Patsiendi tõenäosus ravimiga edukalt ravida on 0,8. Ravimit antakse 10 patsiendile. Leidke tõenäosus, et see ravib edukalt 9 või enamat patsienti.
Lahendus: kõigepealt peame välja selgitama, mis on n, p ja x.
Peame leidma tõenäosuse, et see ravib edukalt 9 või enamat patsienti. Seega ravib see edukalt kas 9 või 10 patsienti
x (arv, mille jaoks peate leidma tõenäosuse) = 9 või x = 10
Peame leidma P (9) ja P (10)
B (b = 9) leidmiseks võib binoomjaotuse arvutada järgmiselt:
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 09/10
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,1334217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,1334217728 * 0,2
Tõenäosus 9 Patsiendid on uskumuse
P (x = 9) = 0,2684
B (b = 10) leidmiseks võib binoomjaotuse arvutada järgmiselt:
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Tõenäosus 10 Patsiendid on uskumuse
P (x = 10) = 0,1074
Seetõttu P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Seega on 9 või enama patsiendi tõenäosus seda ravimit ravida 0,375809638.
Binomiaaljaotuse kalkulaator
Võite kasutada järgmist binoomjaotuse kalkulaatorit.
| n | |
| lk | |
| x | |
| Binomiaaljaotuse valem = | |
| Binomiaaljaotuse valem = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Asjakohasus ja kasutamine
- On ainult kaks tulemust
- Iga tulemuse tõenäosus jääb proovist proovini konstantseks
- Katsetusi on kindel arv
- Iga kohtuprotsess on sõltumatu, st välistab üksteist
- See annab meile edukate tulemuste võimaliku arvu sagedusjaotuse antud arvu katsete korral, kus kõigil nendel antud katsetel on sama edukuse tõenäosus.
- Iga binoomkatses tehtud katse võib anda vaid kaks võimalikku tulemust. Seega on nimi "binomiaalne". Ühte neist tulemustest nimetatakse edukuseks ja teist ebaõnnestumiseks. Näiteks võivad haiged inimesed ravile reageerida või mitte.
- Samamoodi võib mündi viskamisel olla ainult kahte tüüpi väljundeid: pead või sabad. Binoomjaotus on statistikas kasutatav diskreetne jaotus, mis erineb pidevast jaotusest.
Binoomkatse näide on mündi viskamine, ütleme kolm korda. Mündi klappimisel on võimalikud ainult kaks tulemust - pea ja sabad. Iga tulemuse tõenäosus on 0,5. Kuna münti visatakse kolm korda, on katsete arv fikseeritud, see on 3. Iga viske tõenäosust muud visked ei mõjuta.
Binomiaaljaotus leiab oma rakendused sotsiaalteaduste statistikas. Seda kasutatakse dihhotoomsete tulemuste muutujate mudelite väljatöötamiseks, kus on kaks tulemust. Selle näiteks on see, kas valimised võidaksid vabariiklased või demokraadid.
Binomiaaljaotuse valem Excelis (Exceli malliga)
Saurabh sai binomiaaljaotuse võrrandist teada koolis. Ta soovib oma õega kontseptsiooni arutada ja temaga kihlvedusid sõlmida. Ta arvas, et viskab erapooletu mündi kümme korda. Ta tahab panustada 100 dollarit, kui saab 10 viskega täpselt viis saba. Selle panuse jaoks soovib ta arvutada tõenäosuse saada 10 viskega täpselt viis saba.
Lahendus: kõigepealt peame välja selgitama, mis on n, p ja x.
Binoomse jaotuse jaoks on sisseehitatud valem Excel, mis on
See on BINOM.DIST (õnnestumiste, katsete arv, õnnestumise tõenäosus, FALSE).
Selle binoomjaotuse näide oleks:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE), kus lahter B2 tähistab õnnestumiste arvu, lahter B3 tähistab katsete arvu ja lahter B4 tähistab edukuse tõenäosust.
Seetõttu arvutatakse binoomjaotuse arvutamine
P (x = 5) = 0,24609375
Tõenäosus saada täpselt 5 saba 10 viskega on 0,24609375
Märkus: FALSE tähistab ülaltoodud valemis tõenäosusmassi funktsiooni. See arvutab välja tõenäosuse, et n sõltumatust katsest õnnestub täpselt n edukust. TRUE tähistab kumulatiivset jaotusfunktsiooni. See arvutab välja tõenäosuse, et n sõltumatust katsest saab maksimaalselt x edu.
