Eksponentsiaalne jaotus (määratlus, valem) Kuidas arvutada?

Mis on eksponentsiaalne levitamine?

Eksponentsiaaljaotus viitab pidevale ja konstantsele tõenäosusjaotusele, mida tegelikult kasutatakse ajaperioodi modelleerimiseks, mida inimene peab enne antud sündmuse toimumist ootama, ja see jaotus on selle asemel geomeetrilise jaotuse pidev vaste.

Eksponentsiaalse jaotuse valem

Pidev juhuslik muutuja x (skaala parameetriga λ> 0) on eksponentsiaaljaotusega ainult siis, kui selle tõenäosustiheduse funktsiooni saab väljendada, korrutades skaala parameetri miinus skaala parameetri ja x kõigi x suuremate kui või võrdub nulliga, vastasel juhul on tõenäosustiheduse funktsioon võrdne nulliga.

Matemaatiliselt on tõenäosustiheduse funktsioon esitatud järgmiselt:

selline, et keskmine on võrdne 1 / λ ja dispersioon on võrdne 1 / λ ² .

Eksponentsiaalse jaotuse arvutamine (samm-sammult)

• 1. samm: proovige kõigepealt välja selgitada, kas vaadeldav sündmus on oma olemuselt pidev ja sõltumatu ning toimub umbes konstantsel kiirusel. Iga praktiline sündmus tagab, et muutuja on suurem või võrdne nulliga.
• 2. samm: Seejärel määrake skaala parameetri väärtus, mis on alati keskmise vastastikune.

• • λ = 1 / keskmine

• 3. samm: Järgmisena korrutage skaala parameeter λ ja muutuja x ning arvutage seejärel toote eksponentsiaalfunktsioon korrutatuna miinus ühega, st e ^{- λ * x} .
• 4. samm: lõpuks arvutatakse tõenäosustiheduse funktsioon, korrutades eksponentsiaalfunktsiooni ja skaala parameetri.

Kui ülaltoodud valem kehtib kõigi x puhul, mis on suuremad või võrdsed nulliga, on x eksponentsiaaljaotus.

Näide

Võtame näite x, mis on aeg, mille kontoripojeng võtab (minutites) juhi töölaualt ametniku lauale toimetamiseks. Eeldatakse, et kasutatud aja funktsioonil on eksponentsiaaljaotus keskmise ajavahemikuga, mis võrdub viie minutiga.

Arvestades, et x on pidev juhuslik muutuja, kuna aega mõõdetakse.

Keskmine, μ = 5 minutit

Seetõttu skaala parameeter λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Seega saab eksponentsiaalse jaotuse tõenäosusfunktsiooni tuletada järgmiselt:

f (x) = 0,20 e ^{- 0,20 * x}

Jaotuskõvera tuletamiseks arvutage nüüd tõenäosusfunktsioon x erinevatel väärtustel.

Kui x = 0

x = 0 eksponentsiaaljaotuse tõenäosusfunktsioon on

Samamoodi arvutage eksponentsiaalse jaotuse tõenäosusfunktsioon x = 1 kuni x = 30 jaoks

• Kui x = 0, f (0) = 0,20 e ^{-0,20 * 0} = 0,200
• Kui x = 1, f (1) = 0,20 e ^{-0,20 * 1} = 0,164
• Kui x = 2, f (2) = 0,20 e ^{-0,20 * 2} = 0,134
• Kui x = 3, f (3) = 0,20 e ^{-0,20 * 3} = 0,110
• X = 4 korral oli f (4) = 0,20 e ^{-0,20 * 4} = 0,090
• Kui x = 5, f (5) = 0,20 e ^{-0,20 * 5} = 0,074
• Kui x = 6, f (6) = 0,20 e ^{-0,20 * 6} = 0,060
• X = 7 korral oli f (7) = 0,20 e ^{-0,20 * 7} = 0,049
• Kui x = 8, f (8) = 0,20 e ^{-0,20 * 8} = 0,040
• Kui x = 9, f (9) = 0,20 e ^{-0,20 * 9} = 0,033
• Kui x = 10, f (10) = 0,20 e ^{-0,20 * 10} = 0,027
• Kui x = 11, f (11) = 0,20 e ^{-0,20 * 11} = 0,022
• X = 12 korral oli f (12) = 0,20 e ^{-0,20 * 12} = 0,018
• Kui x = 13, f (13) = 0,20 e ^{-0,20 * 13} = 0,015
• Kui x = 14, f (14) = 0,20 e ^{-0,20 * 14} = 0,012
• Kui x = 15, f (15) = 0,20 e ^{-0,20 * 15} = 0,010
• Kui x = 16, f (16) = 0,20 e ^{-0,20 * 16} = 0,008
• X = 17 korral oli f (17) = 0,20 e ^{-0,20 * 17} = 0,007
• Kui x = 18, f (18) = 0,20 e ^{-0,20 * 18} = 0,005
• Kui x = 19, f (19) = 0,20 e ^{-0,20 * 19} = 0,004
• Kui x = 20, f (20) = 0,20 e ^{-0,20 * 20} = 0,004
• X = 21 korral oli f (21) = 0,20 e ^{-0,20 * 21} = 0,003
• Kui x = 22, f (22) = 0,20 e ^{-0,20 * 22} = 0,002
• Kui x = 23, f (23) = 0,20 e ^{-0,20 * 23} = 0,002
• Kui x = 24, f (24) = 0,20 e ^{-0,20 * 24} = 0,002
• Kui x = 25, f (25) = 0,20 e ^{-0,20 * 25} = 0,001
• X = 26 korral oli f (26) = 0,20 e ^{-0,20 * 26} = 0,001
• Kui x = 27, f (27) = 0,20 e ^{-0,20 * 27} = 0,001
• X = 28 korral oli f (28) = 0,20 e ^{-0,20 * 28} = 0,001
• X = 29 korral oli f (29) = 0,20 e ^{-0,20 * 29} = 0,001
• Kui x = 30, f (30) = 0,20 e ^{-0,20 * 30} = 0,000

Jaotuskõver on tuletatud järgmiselt,

Asjakohasus ja kasutamine

Ehkki konstantse määra eeldus on reaalses maailmas stsenaariumides väga harva rahuldatud, kui ajaintervall on valitud nii, et kiirus on ligikaudu konstantne, siis saab eksponentsiaalset jaotust kasutada hea ligikaudse mudelina. Sellel on palju muid rakendusi füüsika, hüdroloogia jms valdkonnas.

Statistikas ja tõenäosusteoorias viitab eksponentsiaaljaotuse avaldumine tõenäosuse jaotusele, mida kasutatakse kahe järjestikuse sündmuse vahelise aja määratlemiseks, mis toimuvad iseseisvalt ja pidevalt püsiva keskmise kiirusega. See on üks laialdaselt kasutatavatest pidevatest jaotustest ja see on rangelt seotud Exceli Poissoni jaotusega.