Keskpiiri teoreemi määratlus
Keskne piirteoreem väidab, et mis tahes jaotusega populatsiooni juhusliku suuruse juhuslikud valimid lähenevad normaalse tõenäosusjaotuse saavutamisele, kui valimi suurus suureneb, ja eeldatakse, et kui valimi suurus populatsioonis ületab 30, on keskmine valimi kõigi vaatluste keskmine b on peaaegu võrdne populatsiooni keskmisega.
Keskpiiride teoreemi valem
Oleme juba arutanud, et kui valimi suurus ületab 30, saab jaotus normaaljaotuse kuju. Muutuja normaaljaotuse määramiseks on oluline teada selle keskmist ja dispersiooni. Normaaljaotuse võib öelda järgmiselt
X ~ N (µ, α)
Kus
- N = vaatluste arv
- μ = vaatluste keskmine
- α = standardhälve
Enamasti ei paljasta vaatlusi toorel kujul. Seega on tähelepanekute standardimine selle võrdlemiseks ülitähtis. Seda tehakse z-skoori abil. Vaatluse jaoks on vaja arvutada Z-skoor. Z-skoori arvutamise valem on
Z = (X-u) / a / √n
Kus
- Z = vaatluste Z-skoor
- μ = vaatluste keskmine
- α = standardhälve
- n = valimi suurus
Selgitus
Keskne piirteoreem väidab, et mis tahes jaotusega juhusliku populatsiooni muutuja juhuslikud valimid lähenevad valimi suuruse suurenemisel normaalsele tõenäosusjaotusele. Keskne piirteoreem eeldab, et kuna valimi suurus populatsioonis ületab 30, on valimi keskmine, mis on kõigi valimi vaatluste keskmine, peaaegu võrdne populatsiooni keskmisega. Samuti on valimi standardhälve, kui valimi suurus ületab 30, võrdne populatsiooni standardhälbega. Kuna valim valitakse juhuslikult kogu populatsiooni hulgast ja valimi suurus on üle 30, aitab see hüpoteesi testimisel ja hüpoteesi testimise usaldusvahemiku koostamisel.
Näited keskpiireteoreemi valemist (koos Exceli malliga)
Näide 1
Mõistame näite abil normaaljaotuse mõistet. Investeerimisfondi keskmine tootlus on 12% ja standardhälve investeerimisfondi investeeringu keskmisest tootlusest 18%. Kui eeldame, et tootluse jaotus on tavaliselt jaotatud, siis tõlgendagem investeerimisfondi investeeringu tootluse jaotust.
Arvestades
- Investeeringu keskmine tootlus on 12%
- Standardhälve on 18%
Niisiis, 95-protsendilise usaldusintervalli tootluse väljaselgitamiseks võime selle leida võrrandi as lahendades
- Ülemine vahemik = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Madalam vahemik = 12 - 1,96 (18) = -23%
Tulemus tähendab, et 95% ajast jääb investeerimisfondi tootlus vahemikku 47% kuni -23%. Selles näites annab valimi suurus, mis on juhusliku valimi tootlus, mis koosneb enam kui 30 tootlusvaatlusest, meile tulemuseks investeerimisfondi populatsiooni tootluse, kuna valimijaotus jaotatakse tavaliselt.
Näide 2
Jätkates sama näite abil, määragem, mis on tulemus 90% usaldusintervalli puhul
Arvestades
- Investeeringu keskmine tootlus on 12%
- Standardhälve on 18%
Niisiis, 90-protsendilise usaldusvahemiku tootluse väljaselgitamiseks võime selle leida võrrandi as lahendades
- Ülemine vahemik = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Alumine vahemik = 12 - 1,65 (18) = -18%
Tulemus tähendab, et 90% ajast on investeerimisfondi tootlus vahemikus 42% kuni -18%.
Näide # 3
Jätkates sama näitega, tehkem kindlaks, mis saab tulemuseks 99% usaldusintervalli puhul
Arvestades
- Investeeringu keskmine tootlus on 12%
- Standardhälve on 18%
Niisiis, 90-protsendilise usaldusvahemiku tootluse väljaselgitamiseks võime selle leida võrrandi as lahendades
- Ülemine vahemik = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Alumine vahemik = 12 - 2,58 (18) = -34%
Tulemus tähendab, et 99% ajast on investeerimisfondi tootlus vahemikus 58% kuni -34%.
Asjakohasus ja kasutamine
Keskne piirteoreem on äärmiselt kasulik, kuna see võimaldab uurijal valimi abil ennustada kogu populatsiooni keskmist ja standardhälvet. Kuna valim valitakse juhuslikult kogu populatsiooni hulgast ja valimi suurus on üle 30, läheneb kogu populatsioonist võetud juhusliku valimi suurus tavapärasele jaotusele, mis aitab hüpoteeside testimisel ja usaldusväärsuse intervalli koostamisel. hüpoteesi testimine. Tsentraalse teoreemi põhjal on teadlasel võimalik kogu suvalisest hulgast valida ükskõik milline juhuslik valim ja kui valimi suurus on üle 30siis saab ta valimi abil prognoosida populatsiooni, kuna valim järgib normaalset jaotust ning samuti on valimi keskmine ja standardhälve sama mis populatsiooni keskmine ja standardhälve.
