Hüpergeomeetrilise jaotuse määratlus
Statistikas ja tõenäosusteoorias on hüpergeomeetriline jaotus põhimõtteliselt selge tõenäosusjaotus, mis määratleb k õnnestumiste tõenäosuse (st. Juhuslikud loosimised joonistatud objekti jaoks, millel on teatud spetsiifiline tunnusjoon) juhul, kui antud arvul pole viite, ilma et see asenduks populatsiooni suurus N, mis sisaldab täpselt K objekti, millel on see funktsioon, kus viik võib õnnestuda või ebaõnnestuda.
Hüpergeomeetrilise jaotuse tõenäosuse valem tuletatakse arvukate üksuste hulga, valimis olevate üksuste arvu, populatsiooni õnnestumiste arvu, valimi õnnestumiste arvu ja väheste kombinatsioonide abil. Matemaatiliselt on tõenäosus esitatud järgmiselt:
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
kus
- N = üksuste arv populatsioonis
- n = valimis olevate üksuste arv
- K = edukuse arv elanikkonnas
- k = valimi õnnestumiste arv
Hüpergeomeetrilise jaotuse keskmist ja standardhälvet väljendatakse järgmiselt:
Keskmine = n * K / N standardhälve = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2Selgitus
1. samm: kõigepealt määrake populatsiooni üksuste koguarv, mida tähistatakse N. Näiteks on kaardil olevate mängukaartide arv 52.
2. samm: Seejärel määrake proovis olevate üksuste arv, mida tähistatakse n-ga, näiteks tekilt tõmmatud kaartide arv.
3. samm: Seejärel määrake juhtumid, mida peetakse populatsioonis edukaks, ja seda tähistatakse K. Näiteks südamete arv kogu tekil, mis on 13.
Samm 4: Järgmisena määrake eksemplarid, mida loetud proovis peetakse edukaks ja seda tähistatakse k-ga. Nt südamete arv kaardipakist, mis on pakist välja tõmmatud.
5. etapp: Lõpuks tuletatakse hüpergeomeetrilise jaotuse tõenäosuse valem, kasutades hulga üksusi populatsioonis (1. etapp), üksuste arvu valimis (2. samm), edukuste arvu populatsioonis (3. samm) ja valimis õnnestumiste arv (4. samm), nagu allpool näidatud.
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nHüpergeomeetrilise jaotuse näited (Exceli malliga)
Näide 1
Võtame näiteks tavalise mängukaartide paki, kus juhuslikult tõmmatakse 6 kaarti ilma neid asendamata. Määrake täpselt 4 punase komplektiga kaardi ehk teemantide või südamete joonistamise tõenäosus.
- Arvestades, et N = 52 (kuna tavalises mängupakis on 52 kaarti)
- n = 6 (tekist juhuslikult välja tõmmatud kaartide arv)
- K = 26 (kuna teemantide ja südamete komplektis on igaüks 13 punast kaarti)
- k = 4 (punaste kaartide arv, mida loetakse valimis edukaks)
Lahendus:
Seetõttu saab ülaltoodud valemi abil arvutada tõenäosuse tõmmata täpselt 4 punast sviitkaarti väljatõmmatud 6 kaardile järgmiselt:
Tõenäosus = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 C 4 * (52-26) C (6-4) / 52 C 6
= 26 C 4 * 26 C 2 / 52 C 6
= 14950 * 325/20358520
Tõenäosus on -
Tõenäosus = 0,2387 ~ 23,87%
Seetõttu on tavalise teki pealt 6 juhuslikku kaarti tõmmates 23,87% tõenäosus tõmmata täpselt 4 punast kaarti.
Näide 2
Võtame veel ühe näite rahakotist, mis sisaldab 5 dollarit 100 dollarit ja 7 dollarit 1 dollarit. Kui 4 vekslit valitakse juhuslikult, siis määrake täpselt 3 dollari 100-dollarise veksli valimise tõenäosus.
- Arvestades, N = 12 (100-dollariste arvete arv + 1-dollariste arvete arv)
- n = 4 (juhuslikult valitud arvete arv)
- K = 5 (kuna arveid on 5 dollarit 100 dollarit)
- k = 3 (100 dollari suuruste arvete arv, mida saab valitud valimis edukaks lugeda)
Lahendus:
Seetõttu saab juhuslikult valitud nelja veksli valimise tõenäosuse valida täpselt 3 dollarit 100 dollarit, kasutades ülaltoodud valemit,
Tõenäosus = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12-5) C (4-3) / 12 C 4
= 5 C 3 * 7 C 1 / 12 C 4
= 10 * 7/495
Tõenäosus on -
Tõenäosus = 0,1414 ~ 14,14%
Seetõttu on 14,14% tõenäosus valida täpselt 3 100 dollari suurust vekslit, samal ajal tõmmates 4 juhuslikku vekslit.
Asjakohasus ja kasutusalad
Hüpergeomeetrilise jaotuse mõiste on oluline, kuna see annab täpse viisi tõenäosuste määramiseks, kui katsete arv ei ole väga suur ja proovid võetakse piiratud populatsioonist ilma asendamiseta. Tegelikult on hüpergeomeetriline jaotus analoogne binoomjaotusega, mida kasutatakse siis, kui katsete arv on oluliselt suur. Hüpergeomeetrilist jaotust kasutatakse siiski asenduseta proovide võtmisel.
