Mis on logi normaalne levitamine?
Log-normaalne jaotus on juhuslike muutujate pidev jaotus, mille logaritmid on jaotatud normaalselt. Teisisõnu, lognormaalse jaotuse genereerib funktsioon e x , kus x (juhuslik muutuja) peaks olema normaaljaotusega. E x loomulikus logaritmis on x, logormaalselt jaotatud juhuslike muutujate logaritmid on tavaliselt jaotatud.
Muutuja X jaotub tavaliselt juhul, kui Y = ln (X), kus ln on loomulik logaritm.
- Y = e x
- Oletame, et mõlemal pool on loomulik logaritm.
- lnY = ln e x, mille tulemuseks on lnY = x
Seetõttu võime öelda, et kui X on juhuslik muutuja, on normaaljaotus, siis Y-l on lognormaalne jaotus.
Log-Normal jaotuse valem
Lognormaalse jaotuse tõenäosustiheduse funktsiooni valem on määratletud keskmise μ ja standardhälbega σ, mida tähistatakse järgmiselt:
Log-normaaljaotuse parameetrid
Log-normaalset jaotust iseloomustavad järgmised kolm parameetrit:
- σ , jaotuse logi standardhälve, mida nimetatakse ka kuju parameetriks. Kujuparameeter mõjutab üldiselt lognormaalse jaotuse üldkuju, kuid see ei mõjuta graafi asukohta ja kõrgust.
- m , jaotuse mediaan, tuntud ka kui skaala parameeter.
- Θ - asukoha parameeter, mida kasutatakse graafi leidmiseks x-teljel.
Keskmine ja standardhälve on lognormaalse jaotuse kaks peamist parameetrit ja need on need kaks parameetrit selgesõnaliselt määratletud.
Järgmine joonis illustreerib normaaljaotust ja log-normaaljaotust.
Ülaltoodud jooniselt võiksime märkida log-normaaljaotuse järgmised omadused.
- Log-normaalsed jaotused on positiivselt paremale kaldu madalamate keskmiste väärtuste ja juhuslike muutujate suurema dispersiooni tõttu kaalutlustel.
- Lognormaalne jaotus on alati altpoolt piiratud 0-ga, kuna see aitab varahindade modelleerimisel, millel ei ole eeldatavasti negatiivseid väärtusi.
- Lognormaalne jaotus on suure hulga väikeste väärtuste korral positiivselt kaldu ja sisaldab mõnda peamist väärtust, mille tulemusel on keskmine sageli režiimist suurem.
Ülaltoodud joonise põhjal võime jälgida, et log-normaalne jaotus on piiratud 0-ga ja see on positiivselt kaldu paremale, mida võis märgata pika saba poolt paremale. Neid kahte tähelepanekut peetakse lognormaalsete jaotuste peamisteks omadusteks. Praktikas osutusid lognormaalsed jaotused aktsia- või varahindade jaotamisel väga kasulikuks, samas kui tavaline jaotamine on väga kasulik vara eeldatava tootluse hindamiseks teatud aja jooksul.
Log-normaaljaotuse näited
Järgnevalt on toodud mõned näited, kus saab kasutada log-normaaljaotusi:
- Gaasi maht energia- ja naftavarus.
- Piimatoodangu maht.
- Sademete kogus.
- Tootmis- ja tööstusüksuste potentsiaalne eluiga, mille ellujäämisvõimalusi iseloomustab stressi määr.
- Nakkushaiguste esinemise perioodide ulatus.
Log-Normal Distributioni rakendus ja kasutusalad
Järgmised on log-normaaljaotuse rakendused ja kasutused.
- Kõige sagedamini kasutatav ja populaarne jaotus on normaaljaotus, mis on tavaliselt jaotunud ja sümmeetriline ning moodustab kellakujulise kõvera, mis on modelleerinud erinevaid looduslikke alates lihtsast kuni väga keerukani.
- Kuid on juhtumeid, kus normaaljaotusel on piirangud, kus lognormaalset jaotust saab hõlpsasti rakendada. Normaaljaotuse korral võib arvestada negatiivset juhuslikku muutujat s, kuid lognormaalne jaotus näeb ette ainult positiivseid juhuslikke muutujaid.
- Üks erinevatest rakendustest, kus rahanduses kasutatakse lognormaalset jaotust, kus seda kasutatakse vara hindade analüüsimisel. Oodatav varade tootlus on graafikuna tavalises jaotuses, kuid varade hinnad graafiliselt normaalses jaotuses.
- Lognormaalse jaotuskõvera abil saame hõlpsalt arvutada varade tootluse liitmäära teatud aja jooksul.
- Juhul kui me kasutasime teatud aja jooksul varade hindade arvutamiseks normaalset jaotust, on võimalik saada alla -100% tootlust, mis eeldab hiljem, et vara hinnad on väiksemad kui 0. Kuid kui me kasutame ühendi hindamiseks lognormaalset jaotust tasuvuse määr teatud aja jooksul, saame hõlpsasti eemale hoida negatiivsete tulude saamise olukorrast, kuna lognormaalne jaotus võtab arvesse ainult positiivseid juhuslikke muutujaid.
- Hinnasuhe on vara hind perioodi lõpus jagatud vara alghinnaga, mis on võrdne 1 pluss hoiuperioodi tootlusega. Perioodi hinna vara lõpu leidmiseks võime saada sama, korrutades selle suhtelise hinna ja vara esialgse hinna korrutisega. Lognormaalne jaotus võtab ainult positiivse väärtuse; seetõttu ei saa vara hind perioodi lõpus olla alla 0.
Log-Normal Distribution aktsia hindade modelleerimisel
Log-normaalset jaotust on kasutatud aktsiate ja paljude muude varade hindade tõenäosuse jaotuse modelleerimiseks. Näiteks oleme täheldanud, et Black-Scholes-Mertoni optsioonide hinnamudelis ilmneb lognormaalne olemus, kus on eeldus, et alusvara optsiooni hind jaotub logormaalselt samal ajal.
Järeldus
- Normaaljaotus on tõenäosusjaotus, mis väidetavalt on asümmeetriline ja kellakujuline kõver. Normaaljaotuses langeb 69% tulemusest ühe standardhälbe ja 95% kahe standardhälbe piiridesse.
- Normaaljaotuse populaarsuse tõttu on enamik inimesi tuttav normaaljaotuse kontseptsiooni ja rakendusega, kuid sel ajal ei tundu nad lognormaalse jaotuse mõistega võrdselt tuttavad. Normaaljaotuse saab logaritmide abil teisendada lognormaalseks jaotuseks, mis saab põhiliseks aluseks, kuna lognormaalsed jaotused peavad ainsaks juhuslikuks muutujaks, mis tavaliselt jaotub.
- Lognormaalseid jaotusi saab kasutada koos normaaljaotusega. Lognormaalsed jaotused on ln loodusliku logaritmi eelduse tulemus, mille alus on võrdne e = 2,718. Lisaks antud alusele võiks lognormaalse jaotuse teha ka teise aluse abil, mis mõjutaks seejärel lognormaalse jaotuse kuju.
- Lognormaalne jaotusgraafik logib normaaljaotuse kõveratelt normaaljaotuse saanud juhuslike muutujate logi. Ln, looduslik log on tuntud e, eksponent, millele soovitud juhusliku muutuja x saamiseks tuleks alus tõsta, mis võib leida normaaljaotuse kõveralt.
